ដោះស្រាយ​លំហាត់​​គណិតវិទ្យា​ខ្លីៗ

Standard

លំហាត់​ទី១ (ទ្រឹស្ដី​ចំនួន)៖

បង្ហាញ​ថា  {{2}^{{{2}^{2016}}}}+{{2}^{{{2}^{2015}}}}+1 ចែក​ដាច់​នឹង​ ២១។

លំហាត់​ទី​២  (ទ្រឹស្ដីចំនួន)៖

ដោះ​ស្រាយ​សមីការឫស​គត់ x+\left[ \frac{x}{3} \right]=\left[ \frac{2x}{3} \right]+\left[ \frac{3x}{5} \right]

ដែល x ជា​ចំនួន​គត់ ហើយ \left[ A \right] តាង​ឲ្យ ផ្នែក​គត់​នៃ​ចំនួន​ពិត A

លំហាត់​ទី​៣ (ត្រីកោណមាត្រ)

ក. គេ​ឲ្យ x>0, គណនា A=\arctan x+\arctan \frac{1}{x}

ខ. គេ​ឲ្យ x<1, គណនា B=\arctan \frac{1+x}{1-x}-\arctan x

 

មើល​ដំណោះស្រាយ

 

លំហាត់​ទី១៖ បង្ហាញ​ថា  {{2}^{{{2}^{2016}}}}+{{2}^{{{2}^{2015}}}}+1 ចែក​ដាច់​នឹង​ ២១

យើង​មាន  A={{2}^{{{2}^{2016}}}}+{{2}^{{{2}^{2015}}}}+1={{\left( {{2}^{{{2}^{2015}}}} \right)}^{2}}+{{2}^{{{2}^{2015}}}}+1

ដោយ {{2}^{2015}}\equiv 2\,\,\left( \bmod 6 \right)\,\,\Rightarrow \,\,{{2}^{2015}}=6k+2

\Rightarrow \,\,A={{\left( {{2}^{6k+2}} \right)}^{2}}+{{2}^{6k+2}}+1={{\left( 3\cdot 21+1 \right)}^{2k}}\cdot 16+{{\left( 3\cdot 21+1 \right)}^{k}}\cdot 4+1

A\equiv 1\cdot 16+1\cdot 4+1\equiv 21\equiv 0\,\,\left( \bmod 21 \right)

ដូចនេះ  A ចែក​ដាច់​នឹង ២១។

 

លំហាត់​ទី​២៖ ដោះ​ស្រាយ​សមីការ x+\left[ \frac{x}{3} \right]=\left[ \frac{2x}{3} \right]+\left[ \frac{3x}{5} \right]

តាង x=15k+r,\,\,0\le r\le 14,\,\,\,k\ge 0

សមីការ​ក្លាយ​ទៅ​ជា៖

15k+r+\left[ \frac{15k+r}{3} \right]=\left[ \frac{2\left( 15k+r \right)}{3} \right]+\left[ \frac{3\left( 15k+r \right)}{5} \right]

\Rightarrow 15k+r+5k+\left[ \frac{r}{3} \right]=10k+\left[ \frac{2r}{3} \right]+9k+\left[ \frac{3r}{5} \right]

\Rightarrow k+r+\left[ \frac{r}{3} \right]=\left[ \frac{2r}{3} \right]+\left[ \frac{3r}{5} \right]

ជំនួស​តម្លៃ r ពី 0 ដល់ 14 ធ្វើ​យ៉ាង​ណា​ឲ្យ​បាន​តម្លៃ k\ge 0

យើង​បាន k=0,\,\,r=2

ដូចនេះ  សមីការ​មាន​ឫស x=2

 

លំហាត់​ទី​៣៖

ក. គណនា A=\arctan x+\arctan \frac{1}{x}

ដំណោះស្រាយ​ទី​១

តាង y=\arctan \frac{1}{x}  \Rightarrow \tan y=\frac{1}{x}

\Rightarrow x=\cot y=\tan \left( \frac{\pi }{2}-y \right)\Rightarrow \arctan x=\frac{\pi }{2}-y

A=\arctan x+\arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi }{2}-y+y

ដូចនេះ A=\frac{\pi }{2}

ដំណោះស្រាយ​ទី​២

បំពាក់ \tan លើ​អង្គ​សង​ខាង យើង​បាន៖

\tan A=\tan \left( \arctan x+\arctan \frac{1}{x} \right)

=\frac{\tan \left( \arctan x \right)+\tan \left( \arctan \frac{1}{x} \right)}{1-\tan \left( \arctan x \right)\tan \left( \arctan \frac{1}{x} \right)}=\frac{x+\frac{1}{x}}{1-x\cdot \frac{1}{x}}=+\infty

\tan A=+\infty

ដូចនេះ  A=\frac{\pi }{2}

ខ. គណនា B=\arctan \frac{1+x}{1-x}-\arctan x

បំពាក់ \tan លើ​អង្គ​សង​ខាង យើង​បាន៖

\tan B=\tan \left( \arctan \frac{1+x}{1-x}-\arctan x \right)

=\frac{\tan \left( \arctan \frac{1+x}{1-x} \right)-\tan \left( \arctan x \right)}{1+\tan \left( \arctan \frac{1+x}{1-x} \right)\tan \left( \arctan x \right)}=\frac{\frac{1+x}{1-x}-x}{1+\frac{1+x}{1-x}\cdot x}

\tan B=\frac{1+x-x+{{x}^{2}}}{1-x+x+{{x}^{2}}}=1

ដូចនេះ  B=\frac{\pi }{4}

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s