សម្រាយបញ្ជាក់ វិសមភាពCauchy ឬ AM-GM បែបងាយ ដោយប្រើ វិសមភាពJensen

Standard

***ស្រាយបញ្ជាក់ វិសមភាពCauchy or AM-GM :

ប្រើប្រាស់ វិសមភាពJensen:
f(\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+...+{{x}_{n}}}{n})\ge \frac{f({{x}_{1}})+f({{x}_{2}})+...+f({{x}_{n}})}{n}

( រូបភាពនៃមធ្យម ≥ មធ្យមនៃរូបភាព )
កាលណា អនុគមន៍ ƒ ផត (concave) មានន័យថា f''(x)\le 0

យក អនុគមន៍ f(x)=\ln x
f'(x)=\frac{1}{x}
f''(x)=-\frac{1}{{{x}^{2}}}\le 0,\forall x\in \mathbb{R}

មានន័យថា អនុគមន៍ ƒ ផត

ដោយប្រើ វិសមភាពJensen ខាងលើ:

\ln (\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+...+{{x}_{n}}}{n})
\ge \frac{\ln ({{x}_{1}})+\ln ({{x}_{2}})+...+\ln ({{x}_{n}})}{n}

=\frac{1}{n}\cdot \ln ({{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}\cdot ...\cdot {{x}_{n}})

=\ln {{({{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}\cdot ...\cdot {{x}_{n}})}^{\frac{1}{n}}}

បំបាត់លោការីតនេពែរ ពីអង្គសងខាង

ដូច្នេះ \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+...+{{x}_{n}}}{n}\ge \sqrt[n]{{{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}\cdot ...\cdot {{x}_{n}}}

គឺ “មធ្យមនព្វន្ត ≥ មធ្យមធរណីមាត្រ”

សមភាពកើតមាន កាលណា {{x}_{1}}={{x}_{2}}=...={{x}_{n}}

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s