សម្រាយបញ្ជាក់ វិសមភាពCauchy-Schwarz ឬ Bunyakovsky

Standard

***ស្រាយបញ្ជាក់ វិសមភាពCauchy-Schwarz ឬ Bunyakovsky :

យើងមាន

{{a}_{i}},{{b}_{i}}\ge 0 , i=1,2,…,n
ប្រើ វិសមភាពCauchy ២តួ:
a_{1}^{2}{{x}^{2}}+b_{1}^{2}\ge 2\cdot {{a}_{1}}\cdot {{b}_{1}}
a_{2}^{2}{{x}^{2}}+b_{2}^{2}\ge 2\cdot {{a}_{2}}\cdot {{b}_{2}}
…….
a_{n}^{n}{{x}^{2}}+b_{n}^{2}\ge 2\cdot {{a}_{n}}\cdot {{b}_{n}}
(សមភាពកើតមាន កាលណា {{a}_{1}}x={{b}_{1}},{{a}_{2}}x={{b}_{2}},...,{{a}_{n}}x={{b}_{n}}
x=\frac{{{a}_{1}}}{{{b}_{1}}}=\frac{{{a}_{2}}}{{{b}_{2}}}=...=\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}=ថេរ)

បូកអង្គនិងអង្គ

\left( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2} \right){{x}^{2}}-\text{2}\left( {{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+...+{{a}_{n}}{{b}_{n}} \right)x+\left( b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2} \right)\ge 0

សន្មត
f(x)=\left( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2} \right){{x}^{2}}-\text{2}\left( {{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+...+{{a}_{n}}{{b}_{n}} \right)x+\left( b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2} \right)

f(x)\ge 0 ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត x

លុះត្រាតែ \Delta '\le 0

យើងបាន
{{\left( {{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+...+{{a}_{n}}{{b}_{n}} \right)}^{2}}-\left( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2} \right)\left( b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2} \right)\le 0

ដូច្នេះ
{{\left( {{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+...+{{a}_{n}}{{b}_{n}} \right)}^{2}}\le \left( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2} \right)\left( b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2} \right)

សមភាពកើតមាន កាលណា
\frac{{{a}_{1}}}{{{b}_{1}}}=\frac{{{a}_{2}}}{{{b}_{2}}}=...=\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}

Advertisements

6 thoughts on “សម្រាយបញ្ជាក់ វិសមភាពCauchy-Schwarz ឬ Bunyakovsky

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្ដូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្ដូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្ដូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្ដូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s